[응용통계] 13. Unrestricted Random Walk

안녕하세요, 이번 포스팅에서는 마코프 체인에서 유명한 두 번째 예시인 Unrestricted Random Walk 입니다.

https://people.duke.edu/~rnau/411rand.htm

Random Walk에서는 주가와 같이 위로 가거나 아래로 가는 것이 랜덤하게 발생합니다.

저희는 p의 확률로 양의 방향 (위쪽)으로 가고, 1-p의 확률로 음의 방향 (아래쪽)으로 가는 마코프 체인을 생각해보겠습니다.

보시다시피 모든 State는 communicate 함을 바로 알 수 있습니다.

따라서, 하나의 class로 표현 되므로, irreducible 합니다.

그리고 0 state에서 n 단계를 거쳐서 0으로 다시 돌아올 확률은 다음과 같이 정의됩니다.

n이 짝수 일때만 돌아올 수 있는것을 확인 할 수 있습니다.

이 때, 4p(1-p)는 p가 0.5이면 1이고, 0.5보다 크거나 작으면 1보다 작은 값을 가지게 됩니다.

즉, p가 0.5가 아니면, transient의 정의를 만족하면서 모든 state는 transient가 됩니다.

다시말해, 어떤 점에서 시작 했을 때, 무한대로 진행하다보면, 원래 있던 자리로는 못돌아온다는 소리입니다.

반면에 p가 0.5이면 recurrent의 정의에 의해서 모든 state는 recurrent가 됩니다.

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참고로, 이 때, Null recurrent가 되는데, Null recurrent의 가장 유명한 예가 random walk 입니다.

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