[응용통계] 5. 지수분포 (Exponential Distribution) (1)

안녕하세요, 이번 포스팅에서는 지수분포에 대해서 배워보도록 하겠습니다.

포아송과정이 특정시간동안 발생하는 사건의 수에 대한 확률분포였다면, 지수분포는 한 사건이 발생한 후, 다음 사건이 발생하기까지 걸리는 시간에 대한 분포입니다.

예를 들어서, 버스가 1시간에 3대가 포아송분포에 따라 도착한다고 가정합시다. 그렇다면 버스사이의 시간 간격은 지수분포를 따릅니다.

이러한 관계를 아래의 그림을 통해 쉽게 이해할 수 있습니다.

https://www.statlect.com/probability-distributions/Poisson-distribution

그리고 지수분포는 아주 중요한 성질이 있습니다. 바로 비기억성입니다.

예를 들어서, 버스가 도착 시간의 간격이 지수분포 30분을 따른다고 할 때, 20분동안 기다린 후에도 여전히 기다리기 전과의 버스 올 때까지의 걸리는 시간에 대한 분포는 같다는 것입니다. (신기하죠??)

비기억성은 앞으로 자주 이용되므로 확실히 이해하고 가도록 합시다.

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다음으로, 1번버스와 2번버스가 A라는 버스정류장에 들린다고 가정합시다. 1번버스는 1시간에 λ1을 모수로 가지는 포아송분포를 따르며 A정류장에 도착하고 2번버스는 1시간에 λ2를 모수로 가지는 포아송분포를 따르며 A정류장에 도착한다고 합시다. 이 때, 내가 버스정류장에 도착했을 때, A버스가 B버스보다 먼저 도착할 확률은 어떻게 될까요?

다음으로, 1번버스와 2번버스 상관없이 A정류장에 버스가 도착하는데 걸리는 시간에 대한 분포는 어떻게 될까요?

이처럼 포아송 모수가 더해진 지수분포를 따릅니다.

같은 논리로 다음이 성립합니다.

즉 n개의 서버가 있는데 각 서버의 고객들을 응대하는 시간이 지수분포 λi를 따른다로 하고, 각 서버에 전부 고객들이 서비스를 받고 있을 때, 막 도착한 고객이 서비스를 받을 때까지 걸리는 시간이 위의 각 지수분포의 포아송 모수를 합한 지수분포를 따른다는 것입니다.

이를 큐잉이론이라고 합니다.