[수리통계학] 41. 구간 추정

[Ref] 수리통계학 (송명주, 전명식)

안녕하세요, 이번 포스팅에서는 구간 추정에 대해서 배워보도록 하겠습니다.

구간 추정은 고등학교 확률과 통계 부분에서도 배우기도 했을텐데, 깊게 공부해보지는 못하셨을것입니다.

구간 추정에서 바로, 신뢰 구간이라는 중요한 용어가 등장합니다.

신뢰 구간은 어찌보면 통계에서 굉장히 중요한 개념입니다. 어떤 추정량에 대해서, 신뢰도를 평가하기 위한 지표이기도 하죠.

​

그러면 본격적으로 신뢰구간의 정의에 대해서 배워보도록 하겠습니다.

즉, 정의를 쉽게 말씀드리자면, 모수 theta가 어떠한 하한과 상한 사이에 존재할 확률이 1-alpha 값을 가진다면 그 하한과 상한을 신뢰구간의 하한과 상한으로 정의하는 것입니다.

​

이처럼 신뢰구간은 상한과 하한의 사이로 정의되기도 하지만, 하나의 구간과 무한대로 정의되기도 합니다.

이렇게 신뢰구간은 단측과 양측으로 나누어 집니다.

​

다음으로 다루어볼 내용은 신뢰구간을 어떻게 얻을 수 있는가입니다.

일반적으로 추축변량을 사용하는 방법이 있습니다.

추축변량의 정의는 다음과 같습니다.

추축변량의 예를 하나 들어보도록 하겠습니다.

이제 본격적으로 정규분포의 모수를 추정하면서, 신뢰구간을 구해보도록 하겠습니다.

우선 평균에 대한 추정에 있어서 두 가지로 경우로 나뉠 수 있습니다.

첫번째로, 또 다른 모수인 정규분포의 분산에 대해서 우리가 사전에 알고 있을 경우입니다.

두번째로, 분산에 대해서 우리가 모르는 경우에는 위의 변량은 모수에 의해 의존하기 때문에 사용할 수 없습니다.

따라서 앞서 추축변량의 예시로 사용했던 변량을 사용하여야 합니다.

다음으로 모분산에 대한 신뢰구간을 구해보도록 하겠습니다.

첫번째로, 모평균을 알고 있는 경우입니다.

두번째로, 모평균을 모르는 경우입니다.

​

이처럼 추축변량을 찾아내는 것이 가장 중요한 일이 됩니다.

​