[수리통계학] 38. 지수족

안녕하세요, 이번 포스팅에서는 지수족 (Exponential Family) 에 대해서 배워보도록 하겠습니다.

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우선 지수족에 대한 정의를 살펴봅시다.

지수족에 대한 정의는 위와 같습니다.

확률 밀도함수가 위와 같은 형태로 표현이 될 때, 그 확률밀도함수를 지수족에 속한다고 정의합니다.

실제로 이 지수족에 속하는 유명한 확률 밀도함수가 많습니다. (베르누이, 이항분포, 포아송분포, 지수분포, 기하분포, 정규분포, 균등분포, 감마분포 등등)

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예를 들어서 포아송 분포와 정규분포가 지수족인 것을 증명해보도록 하겠습니다.

그런데 갑자기 왜 지수족이라는 개념이 나왔을까요?

그것은 바로 지금까지 계속 배워왔던 최소분산 비편향추정량 (MVUE) 와 관련이 있습니다.

정리 하나는 배워보도록 하겠습니다.

즉, 지수족에서 나오는 t(x)들이 완비충분통계량이 된다는 것입니다.

앞선 두 예제 포아송분포와 정규분포로 다시 돌아가 보겠습니다.

이처럼 MVUE를 지수족에 대해서는 쉽게 구할 수 있습니다.

참고로, 이 때 MVUE는 완비충분통계량에 대한 함수로 비편향추정량이 되도록 조합하여 만들어진 것입니다.