[공간 통계] 4. Spatial scan statistics

안녕하세요, 이번 포스팅에서는 Spatial scan statistics에 대해서 배워보도록 하겠습니다.

​

Spatial scan statistics 방법은 통계학의 관점에서 공간 상의 핫스팟을 찾아내는 기법중에서 정말 유명한 방법입니다.

​

원리는 매우 간단합니다.

예를 들어서, 데이터를 질병의 발생 유무를 나타내는 (0,1) binary 데이터가 공간상에 원 모양으로 찍혀 있다고 해봅시다.

그리고 우리는 귀무가설로 모든 공간에서 질병이 발생할 확률은 모수가 p인 베르누이 분포를 따른다고 가정합니다.

물론 이 때, 가설은 포아송 분포여도 되고, 어떤 분포든 가정하기 나름입니다.

​

만약에 위의 그림 처럼 핫스팟이 존재한다면, 핫 스팟 내부 공간에서는 관찰된 바에 의하면 질병이 일어날 확률이 핫 스팟 외부보다는 클 것입니다.

(왜냐하면, 핫 스팟 내부에는 다른 지역보다 더 많은 질병이 발생했으므로)

​

즉, 간단하게 클러스터 내부와 외부에서 분포에 대한 차이가 발생하는가를 통계적 검정함으로써, 핫스팟을 발견하는 방법이 Spatial scan statistics 이라고 생각하시면 됩니다.

​

그렇다면 분포의 차이를 어떻게 통계적 검정하는가가 중요한 방법입니다.

Spatial scan statistics 에서는 우도비 검정을 통해서 이 과정을 수행합니다.

​

우선 귀무가설 하에서의 분포의 우도비를 계산합니다.

그리고, 저희는 분포의 차이가 존재하는 핫스팟이 있을 것이라는 대립가설하의 실제 데이터에 대한 로그우도비를 계산 할 수 있습니다.

그리고 우도비 검정을 수행하기 위한 우도비 검정 통계량을 계산합니다.

이러한 방법으로, 핫 스팟이 있을 것이라 예측하는 공간에 클러스터의 크기를 변화시키면서 우도비 검정 통계량이 최대가 되는 클러스터를 발견합시다.

아까 본 그림에서 생성된 핫스팟이 최대 우도비 검정 통계량을 가지는 클러스터라고 할 때, 이 클러스터가 과연 통계적으로 유의한가를 보아야합니다.

Spatial scan statistics은 가설의 유의성 검정을 위해 Monte Carlo hypothesis testing을 수행합니다.

Monte Carlo hypothesis testing은 우선 실제 데이터와 같은 전체 관측치의 개수 및 질병으로 발견된 관측치의 개수를 가지는 공간 맵을 랜덤하게 999개 생성합니다.

예를 들어서, 관측치가 총 10개가 있으며, 질병으로 관측된 것이 5개가 있다고 할 때, 생성되는 랜덤맵은 다음과 같습니다.

그리고 각 Sample Map 마다 실제 공간 맵에서의 핫 스팟 클러스터와 같은 크기를 가지면서, 최대 우도비 검정 통계량을 가지는 클러스터를 각각 발견합니다.

​

총 999의 Sample Map 의 우도비 검정 통계량 중에서 실제 공간 맵의 우도비 검정량 보다 큰 값이 n 개 존재할 때, 실제 공간 맵의 p-value는 (n+1)/1000로 p-value가 계산됩니다.

​

일반적으로 p-value가 0.005보다 작거나 같으면 분포의 차이가 통계적으로 유의하며, 핫스팟이라고 할 수 있습니다.