[응용통계] 2. 위너과정 (Wiener Process)

[Ref] introduction to probability models (Sheldon Ross)

안녕하세요, 이번 포스팅에서는 위너과정에 대해서 배워보도록 하겠습니다. 위너과정을 Brownian motion process라고도 불립니다. 이 위너과정을 주가의 움직임과 매우 비슷한것으로 유명합니다.

실제로, 많은 금융 이론들은 주가의 움직임이 위너과정을 따른다고 전제하고 있습니다.

위너과정은 쉽게 말해서, 앞선 포스팅에서 살펴본 정상성과 독립성을 만족하며 초기 시간대의 값이 0이어야 합니다.

그리고 두 번째 조건으로, 시간에 따라 위너과정의 확률분포는 정규분포를 따릅니다.

​

위너과정을 따르는 시계열 분포를 그림으로 살펴보겠습니다.

​

https://me.ucsb.edu/~moehlis/APC591/tutorials/tutorial7/node2.html

 

위 그림과 같이 주가처럼 보이는 것을 확인할 수 있습니다.

​

다음으로, 위너과정의 특징에 대해서 배워보도록 하겠습니다.

우선, 두 가지 Lemma에 대해서 받아들이고 가도록 합시다.

첫 번째 Lemma는 함수내의 덧셈이 덧셈으로 쪼개지면, 그 함수의 형태가 선형이라는 것을 의미합니다.

두 번째 Lemma는 함수내의 덧셈이 곱셈으로 쪼개지면, 그 함수의 형태가 지수형태라는 것을 의미합니다.

​

이 특징의 의미는 위너과정의 평균과 분산이 시간이 지남에 따라 커지는 선형 함수로 표현된다는 것입니다.