[공간 통계] 9. Spatial Autoregressive model

Spatial Autoregressive model은 아래와 같이 정의된다.

이 때 rho는 y값에 대한 자기상관을 반영하는 coefficient이고, W1은 이에 대한 공간 가중 행렬, beta는 일반 회귀 계수와 같은 역할을 한다.

Lambda는 오차항 내에서의 자기상관을 반영하는 coefficient이다.

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일반적으로, lambda = 0이라고 가정할 때, Spatial lag model이라고 정의하며, 반대로 rho = 0 이라고 가정할 때, Spatial Error model로 정의된다.

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이 때, 유의할 점은 공간 가중 행렬 W는 대각 원소가 모두 0이며, 각 행의 합은 1로 Normalize 되어 있어야 한다.

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이번 포스팅에서는 Spatial lag model에 대해서만 다뤄보도록 하겠다.

공간 회귀식은 아래와 같이 정의될 수 있다.

이 식을 Y에 관해서 풀면, 우변은 아래와 같이 변환된다.

이 때, e는 heteroskedastic error로 정의되며, 아래와 같다.

e에 대한 공분산 행렬을 구해보면 아래와 같다.

위 모델을 범주형 Y를 예측하는데 사용하고자 할 때, Y를 Latent continous variable (Y star)로 치환하여 사용 할 수 있다.

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Calabrese, R., & Elkink, J. A. (2014). Estimators of binary spatial autoregressive models: A Monte Carlo study. Journal of Regional Science, 54(4), 664-687. 에서는 rho와 beta를 추정할 수 있는 다섯 가지 방법을 리뷰하였다.

1. Maximum Likelihood Estaimation

2. EM 알고리즘

3. Gibbs Sampling

4. Recursive Importance Sampling

5. Generalized method of moments

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위 논문에 따르면 작은 sample에 대해서는 Gibbs sampling의 성능이 가장 좋았다고 한다.

하지만 시간적 비용이 굉장히 크다고 한다.

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Generalized method of moments는 모수에 분포를 가정하지 않기 때문에, 보다 robust한 결과를 제공해주는 장점이 있다.

Generalized method of moments의 자세한 사항에 대해서는 다음 포스팅에 다루어 보도록 하겠다.

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