[수리통계학] 6. 분산 및 표준편차

[Ref] 수리통계학 (송명주, 전명식)

안녕하세요, 이번 포스팅에서는 지난 포스팅에 이어서 분산과 표준편차에 대해서 알려드리도록 하겠습니다.

평소에 분산이 높다, 분산이 적다라는 말을 들어본적이 있으실텐데요.

처음 들었을 때는 이게 무슨소리지? 라는 생각밖에 없을거에요... 저도 그랬거든요!

이번 시간을 통해서 분산에 대해서 완벽하게 공부해놓도록 합시다~

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우선, 분산의 정의는 위와 같습니다. 분산은 확률변수의 흩어짐을 재는 척도로써, 분산이 크면 변수들이 넓게 분포하고 있다는 것을 의미하며, 분산이 작다는 것은 변수들이 조밀하게 분포하는 것을 의미합니다.

그림을 통해 이해를 해봅시다.

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다음으로, 분산의 정리에 대해서 배워봅시다. 분산의 정리도 평균의 정리와 마찬가지로 이후 단원들을 배우기 위해서 필수적으로 외워야합니다.

분산은 평균과 달리 aX+b의 분산을 취하면 a가 제곱으로 곱해지고, 상수항 b는 사라지게 됩니다. 그리고 분산은 일반적으로 덧셈과 곱셈은 분할이 안됩니다. (독립이면 덧셈만 분할 가능)

덧셈이 분할이 안되는 이유에 대해서 알기 위해서는 공분산이라는 개념을 알아야합니다.

공분산은 확률변수 X가 변할 때, Y가 변하는 정도로써, 두 개의 확률변수의 관계를 보여줍니다.

그러면 이제 분산의 덧셈이 어떻게 표현되는지 알아봅시다.

분산의 덧셈은 다음과 같이 공분산이 따라나오는데, 독립이면 공분산이 0이 되므로 (정의에 따라) 분산의 덧셈이 분리가 되는 것처럼 보이게 됩니다.