[수리통계학] 4. 결합분포

[Ref] 수리통계학 (송성주, 전명식)

안녕하세요. 이번 포스팅에서는 결합분포에 대해서 다루어 보도록 하겠습니다.

실제로 우리가 데이터를 다룰 때, 종속변수와 독립변수 사이의 관계에서 종속 변수 x가 하나만 있는 경우는 마주치는 일이 거의없습니다.

보통 여려개의 x를 가지며, 그에 따라 종속변수가 변하게 되는데, 이 때의 종속변수의 확률분포를 결합분포라고 할 수 있습니다.

결합 확률밀도함수가 위처럼 정의되므로, 우리는 결합 확률분포함수 또한 정의할 수 있습니다.

다음으로 ,주변 확률밀도함수에 대해서 알아보겠습니다.

두 확률변수의 결합분포를 알고 있을 때, 각 변수만의 분포를 따로 구해야 할 경우가 생길 수 있습니다. 이 때, 두 확률변수 X,Y의 결합 확률밀도함수가 fX,Y(x,y)로 주어졌을 때, 두 변수 X,Y 각각의 확률밀도함수 fX(x),fY(y)를 주변 확률밀도함수라고 합니다.

주변 확률밀도함수는 위와 같이 얻을 수 있습니다.

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다음으로, 조건부 확률밀도함수에 대해 알아보겠습니다.

앞선 포스팅인 확률에서 조건부확률에 대해 배웠었습니다. 조건부 확률밀도함수는 확률이 확률밀도로 대체된 것입니다.

조건부 확률밀도함수의 정의는 위와 같습니다.

방금전에 배웠던 X=x가 주어졌을 때의 조건부 확률밀도함수는 앞서 배운 결합확률밀도함수에서 X의 주변 확률분포함수를 나누어 얻습니다.

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마지막으로, 독립확률변수에 대해서 알려드리겠습니다.

확률변수의 독립도 앞 포스팅에서 배운 확률의 독립과 매우 유사합니다.