[선형대수학] 8. Elementary Matrix 활용한 역행렬 구하기.

안녕하세요. 이번포스팅에서는 Elementary Matrix 활용하여 역행렬을 계산하는 방법을 배워보도록 하겠습니다.

고등학교 때 배운 수학 상식으로는 3x3 이상의 행렬의 역행렬을 구할 수 없었습니다.

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0	1	2
1	2	1
3	3	1

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A 행렬의 역행렬을 구해보도록 할까요??

 

0	1	2
1	2	1
3	3	1

       

1	0	0
0	1	0
0	0	1

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역행렬을 구하고 싶은 행렬 옆에 Identity Matrix를 하나 매칭시켜봅시다.

저희의 목표는 A행렬에 Elementary Matrix을 계속 곱해서 Identity Matrix로 만드는 것인데, 이 때, 매칭된 Identity Matrix에도 같은 Elementary Matrix가 곱해집니다.

 

1	2	1
0	1	2
3	3	1

       

0	1	0
1	0	0
0	0	1

​

우선 첫번째 행과, 두번째 행의 위치가 서로 바뀌게 하는 Elementary Matrix가 곱해졌습니다.

 

1	2	1
0	1	2
0	−3	−2

       

0	1	0
1	0	0
0	−3	1

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그 다음으로, 첫번째 행에 3을 곱하여 세 번째 행에 빼줌으로써, (3,1) 값을 0으로 바꿔줍니다.

 

1	2	1
0	1	2
0	0	4

       

0	1	0
1	0	0
3	−3	1

​

다음으로, 두 번째 행에 3을 곱하여 세 번째 행에 더해줌으로써, (3,2) 값을 0으로 바꿔줍니다.

 

1	2	1
0	1	2
0	0	1

       

0	1	0
1	0	0
34​	−34​	14​

​

다음으로, (3,3) 값을 1로 바꿔주기 위하여, 3번째 행을 4로 나누어 줍니다.

 

1	2	0
0	1	0
0	0	1

       

−34​	74​	−14​
−12​	32​	−12​
34​	−34​	14​

​

다음으로, 세 번째행을 사용하여, (1,3), (2,3) 값을 모두 0으로 바꿔줍니다.

 

1	0	0
0	1	0
0	0	1

       

14​	−54​	34​
−12​	32​	−12​
34​	−34​	14​

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마지막으로, 두 번째 행에 2를 곱해서 1의 식에 빼주면 A행렬이 Identity Matrix로 바뀌게 됩니다.

이 때, 매칭된 행렬이 바로 A의 역행렬이 됩니다.

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왜 이렇게 되는지 궁금하죠??

수학적으로 증명하면 다음과 같습니다.

즉, A을 I로 바꾸는 Elementary Matrix들을 똑같이 I에 곱해주면 A의 역행렬이 되는것입니다.