[선형대수학] 15. Basis (기저)

안녕하세요. 이번 포스팅에서는 Bases에 대해서 배워보도록 하겠습니다.

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우선, 2가지 정의에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

첫번째로 Linear combination (선형 조합)인데 n개의 벡터가 있을 때, 이들에 각각 계수를 붙여 더하는 식을 선형조합이라고 합니다.

그리고 n개의 원소에 대해서 모든 선형조합으로 만들 수 있는 벡터의 집합을 Span이라고 정의합니다.

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그리고 부분공간과 벡터 공간 사이의 Thm을 하나 알아봅시다.

이 정리는 W가 V의 부분공간임을 보일 때, 부분 공간의 복잡한 정의를 모두 보일 필요 없이, W의 원소 x,y에 대해서 임의의 실수 k에 의한 kx+y가 W에 포함되는가만 보이면 된다는 것입니다.

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위의 Thm에 의해서 다음 Thm가 성립합니다.

즉, 벡터 공간 V의 원소 x1,...,xn의 Span 공간은 V의 부분 공간이 된다는 것입니다.

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마지막으로, 중요한 용어에 대해 정의해보겠습니다.

바로 선형 독립 (Linearly independent) 입니다.

n개의 원소가 선형독립이라는 말은 다시말해서, 그 중 어떠한 원소도 다른 원소들의 선형 조합으로 만들어 질 수 없는 경우를 말합니다.

예를들어서, x1=(1,0,0), x2=(0,1,0), x3=(0,0,1), x4=(2,3,1) 이 네 원소는 선형 독립이 아닙니다.

왜냐하면, x4=2x1+3x2+x3 로 만들어지기 때문에, 2x1+3x2+x3-x4=0이 됩니다.

즉 c1=c2=c3=c4=0 이 유일한 해가 아니게 되는 것이지요.

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이제 필요한 정의는 전부 배웠으니, Basis (기저)를 정의해보도록 하겠습니다.

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기저의 정의는 아주 간단합니다.

S가 V의 기저가 되기 위해서는 우선, Span(S)=V가 되어야 하며, S는 선형독립이어야 합니다.

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예를 들어서 R^3 (실수 3차원 벡터) 의 원소 (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) 은 우선 선형 독립이고 Span 하면 R^3와 같게 됩니다.

따라서 S={(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}는 R^3의 기저가 됩니다.

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