통계 이모저모/수리통계학 (44) 썸네일형 리스트형 [수리통계학] 20. 적률생성함수 (1) [Ref] 수리통계학 (송명주, 전명식) 안녕하세요, 저번 포스팅에서 적률에 대해서 배웠으니, 이번에는 적률생성함수 (Moment generating function) 에 대하여 배워보도록 하겠습니다. 저번에도 말씀드렸다시피 적률생성함수는 수리통계학에서 굉장히 중요하게 다루는 부분이니 정확히 알아두셔야 합니다. 적률이 분포의 특징을 설명해주는 역할을 했듯이 분포의 적률생성함수를 알면 그 분포의 특징 (평균, 분산 등)을 알 수 있습니다. 다음으로, 적률생성함수와 기댓값, 그리고 분산과의 관계에 대해서 알아봅시다. 이 처럼 적률생성함수를 미분하고, t에 0을 대입하면 적률을 구할 수 있습니다. 하지만, 적률생성함수가 중요한 가장 큰 이유는 다음에 배울 정리에 있습니다. 즉, 위 정리를 통해 우리가 어떤 적.. [수리통계학] 19. 적률 [Ref] 수리통계학 (송명주, 전명식) 안녕하세요, 이번 포스팅은 적률생성함수을 배워보기에 앞서 적률에 대한 개념을 짚어보는 시간을 가져보도록 하겠습니다. 적률생성함수는 수리통계학 뿐만 아니라 통계에서 굉장히 중요한 개념이므로 정확히 알아야 합니다. 적률의 정의는 위와 같습니다. 정의만 보면 이게 무엇을 의미하는지 모를 수 있습니다. 한마디로 정의하자면 적률은 분포의 특징을 설명해주는 지표입니다. 예를 들어서, 1차적률은 확률변수의 평균을 나타내며, 2차 중심적률은 분산, 3차 중심적률은 왜도(skewness), 4차 중심적률은 첨도(kurtosis)가 됩니다. 이 때 왜도는 확률밀도함수의 비대칭성을 나타내는 척도이며, 첨도는 뾰족한 정도를 재는 척도입니다. 양의 왜도와 음의 왜도에 대한 해석은 위와 .. [수리통계학] 18. 확률변수들의 함수 (2) 결합변환 [Ref] 수리통계학 (송명주, 전명식) 안녕하세요, 이번 포스팅은 확률변수들의 함수 두 번째 파트인 결합변환입니다. 결합변환은 Convolution 이라고도 불립니다. 우선 두 개 이상의 확률변수의 함수를 변환하는 것인데, 이 전에 하나의 확률 변수로 이루어진 함수의 변환을 알아보도록 하겠습니다. 지난번에 배운 누적확률분포함수로도 Y=X2의 확률밀도함수를 구할 수 있지만, 변환을 이용하면 더 쉽게 얻을 수 있습니다. 우선 변환에 대해서 알아보도록 합시다. 위의 내용만 읽으면 무슨 소리인지 잘 모르실수도 있습니다. 이런 경우에는 예제를 통해서 익히는것이 가장 좋은 방법입니다. 지난번 포스팅에서 풀어본 예제를 변환으로 풀어보도록 하겠습니다. 누적분포함수를 이용해 푼 결과와 같게 나온것을 확인할 수 있습니다.. [수리통계학] 17. 확률변수들의 함수 (1) 누적확률분포함수 [Ref] 수리통계학 (송명주, 전명식) 안녕하세요, 이번 포스팅부터 수리통계학의 난이도가 증가하는것을 느낄 수 있을거에요 ㅠ. 이제부터는 집중해서 잘 따라와야 합니다! 이번에 다룰 내용은 확률변수들의 함수에 대해서 배워보겠습니다. 예를 들어서 확률변수 X의 밀도함수가 주어졌을 때, X2의 밀도함수를 어떻게 구할까요?? 처음보는 사람 입장에서는 저게 무슨소리지 할겁니다! X2의 밀도함수를 구하는 방법은 크게 2가지 방법이 있는데요~ 오늘은 첫번째 방법인 누적확률분포함수를 이용하여 구해보도록 하겠습니다. 예제를 통해서 익혀보도록 합시다. [수리통계학] 16. 연속형 확률분포 (4) 감마분포, 베타분포 [Ref] 수리통계학 (송명주, 전명식) 안녕하세요, 이번 포스팅은 길고 길었던, 연속형 확률분포의 마지막 시간입니다. 마지막으로는 감마분포, 그리고 베타분포에 대해서 배워보도록 하겠습니다. 첫번째로, 감마분포는 지수분포와 관련이 있는 분포입니다. (마치 베르누이 분포와 이항분포 사이의 관계와 비슷합니다.) 우선 감마분포를 알기 위해서는 감마함수를 알아야합니다. 감마분포는 물리학을 공부할 때 많이 나오는것으로 알고 있습니다. 감마분포의 성질은 위의 3가지만 알아두시면 감마분포를 이해하시는데에는 문제가 없습니다. 지수분포가 사건이 1번 발생하는데 걸리는 시간에 대한 분포라면, 감마분포는 사건이 k번 발생하는데 걸리는 시간에 대한 분포라고 생각하시면 됩니다. 감마분포는 2개의 모수가 있는데, 사건 개수인 k.. [수리통계학] 15. 연속형 확률분포 (3) 정규분포 [Ref] 수리통계학 (송명주, 전명식) 안녕하세요, 이번 포스팅은 연속형 확률분포의 세 번째 시간입니다. 이번에 다룰 분포는 정규분포입니다. 수리통계를 공부하지 않는 사람이라도 정규분포는 알 정도로 굉장히 유명한 분포입니다. 정규분포는 기댓값 μ를 기준으로 벨 모양을 하고 있습니다. 정규분포의 확률밀도함수가 외우기 쉽지 않지만, 반드시 외우셔야합니다. (자주 쓰이는 분포인 만큼 확률밀도함수도 자주 쓰입니다!) X가 정규분포를 따를 때 aX+b 는 어떤 분포를 따를까요? 짐작 가시겠지만, 정답은 정규분포입니다. 왜 이렇게 될까요? 증명은 위와 같습니다. 따라서 저희는 X~N(μ,б2)을 따를 때, (X-μ)/б 는 N(0,1) 을 따르게 되는데, 이를 표준화 한다고 정의합니다. 그리고 N(0,1)을 .. [수리통계학] 14. 연속형 확률분포 (2) 지수분포 [Ref] 수리통계학 (송명주, 전명식) 안녕하세요, 이번 포스팅은 지난 포스팅에 이어서 연속형 확률분포를 다룰 계획입니다. 이번 확률분포는 지수분포 (Exponential distribution) 입니다. 지수분포는 앞서 배운 포아송 분포와 아주 밀접한 관련이 있습니다. 포아송 분포가 어떤 분포였는지 기억나시나요?? 2019/05/23 - [통계 이모저모/수리통계학] - [수리통계학] 10. 이산형 확률분포 (2) 포아송 분포 그렇습니다! 포아송 분포는 특정 시간동안 발생할 사건의 수에 대한 분포였다면, 지수분포는 특정 사건이 발생하는데 걸리는 시간에 대한 분포입니다. 이 때, λ 는 포아송 분포에서의 모수와 같다고 생각하시면 됩니다. 즉, 특정 시간동안 발생하는 사건의 수입니다. 지수분포는 Θ=1/λ.. [수리통계학] 13. 연속형 확률분포 (1) 균일분포 [Ref] 수리통계학 (송명주, 전명식) 안녕하세요, 저번 포스팅까지는 이산형 확률분포에 다루었는데 기억하시죠?? 수리통계학을 공부할 때, 분포들은 굉장히 중요하고 앞으로의 내용을 이해하는데 기본이 되는 지식들이므로, 꼭 복습을 하셔서 본인의 것으로 습득하고 가셔야합니다. 이번 포스팅부터는 연속형 확률분포를 다룰 것입니다. 첫번째로 다룰 분포는 균일 분포 (Uniform distribution) 입니다. 균일분포는 굉장히 쉬운 분포입니다. 예를 들어서 확률 변수 X가 (0,1) 상에서 균일분포를 따른다면, (0,1) 내의 어느 점이든 선택될 확률이 다 동일하다고 생각하시면 됩니다. 다음으로, 균일 분포의 기댓값과 분산을 계산해보도록 해보겠습니다. 이전 1 2 3 4 5 6 다음
