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[선형대수학] 15. Basis (기저) 안녕하세요. 이번 포스팅에서는 Bases에 대해서 배워보도록 하겠습니다. ​ 우선, 2가지 정의에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 첫번째로 Linear combination (선형 조합)인데 n개의 벡터가 있을 때, 이들에 각각 계수를 붙여 더하는 식을 선형조합이라고 합니다. 그리고 n개의 원소에 대해서 모든 선형조합으로 만들 수 있는 벡터의 집합을 Span이라고 정의합니다. ​ 그리고 부분공간과 벡터 공간 사이의 Thm을 하나 알아봅시다. 이 정리는 W가 V의 부분공간임을 보일 때, 부분 공간의 복잡한 정의를 모두 보일 필요 없이, W의 원소 x,y에 대해서 임의의 실수 k에 의한 kx+y가 W에 포함되는가만 보이면 된다는 것입니다. ​ 위의 Thm에 의해서 다음 Thm가 성립합니다. 즉, 벡터 공간 V..
[선형대수학] 14. Cramer`s rule 안녕하세요. 이번 포스팅에서는 Cramer`s rule에 대해서 배워보도록 하겠습니다. ​ 우선 복습의 용도로 지난번 포스팅에서 배운 식을 가져와봤습니다. 이 식에서 혹시 A 밑에 붙은 i가 a의 i와 다른 값이면 어떻게 될까요? ​ 이 부분을 알기 위해서, 9번째 포스팅에 있던 Determinant의 성질을 가져와보았습니다. 저희가 사용할 성질은 3번째 성질입니다. 이처럼 i와 j가 다르면 행렬식은 0이됩니다. ​ 다음으로, 저희는 adj Matrix를 정의하겠습니다. 즉, adj(A)는 원소를 행렬로 가지는 행렬입니다. ​ 지금까지 배운 내용을 바탕으로, 아래의 정리가 성립합니다. 증명에 대해서는, 그냥 전개해보시면 성립함을 보실 수 있습니다. ​ 이제 Cramer`s rule을 배우기 위한 기초 작..
[선형대수학] 13. Cofactor expansion 안녕하세요. 이번 포스팅에서는 Cofactor expansion에 대해서 배워보도록 하겠습니다. ​ 우선, 지난번에 배우던 Permutation에서 더 나아가 Lemma를 알아봅시다. 어떤 Permutation이 주어졌을 때, 그 Permutation의 부호 sgn은 위와 같이 결정될 수 있습니다. ​ 위 Lemma에 따라 지난 포스팅에서 배운 determinant 구하는 공식은 아래와 같이 바뀔 수 있습니다. ​ 그리고 새로운 기호를 정의해보도록 하겠습니다. 예를 들어볼게요! 첫 번째식의 경우, 첫번째 행과 두 번째 열을 제거된 행렬이고, 두 번째식의 경우, 네 번째 행과 두 번째 열이 제거된 행렬입니다. 정말 쉽죠?? ​ 이제 cofactor를 정의해보도록 하겠습니다. cofactor를 사용하여, d..
[선형대수학] 12. Permutation (치환) 안녕하세요, 이번 포스팅에서는 Permutation (치환)에 대해서 배워보도록 할게요. ​ Permutation은 1부터 n까지 수의 순서를 정하는 것과 같다고 생각하시면 쉬워요. 예를 들어볼까요? (1,2,3,4) 를 (2,1,3,4)의 순서를 가진다고 설정해봅시다. 그러면 이 때, (1,2,3,4)의 Permutation 을 다음과 같이 정의합니다. 이처럼 우선, Permutation의 정의는 별로 어려울 게 하나도 없습니다. (1,2,...,n)에 대한 Permutation의 Notation은 다음과 같습니다. ​ 다음으로, Inversion을 정의해보도록 하겠습니다. Inversion은 말 그대로, Permutation의 성분중에서, 앞의 값이 뒤의 값보다 더 큰 경우를 의미합니다. 예를 들어봅..
[선형대수학] 11. Determinant 관련 중요한 성질 안녕하세요. 이번 포스팅에서는 Determinant와 관련된 중요한 성질들에 대해서 배워보도록 하겠습니다. 그럼 시작해보록 하겠습니다. ​ 우선, Elementary matrix와 관련된 성질입니다. (매우 중요!!!!) 1번 성질은 Elementary matrix의 행렬식은 0이 아니라는 것입니다. 2번 성질은 특정 행렬에 Elementary matrix가 곱해졌을 때, 행렬식의 씌우면 쪼개서 행렬식을 씌운 결과와 같다는 것입니다. ​ 위 두가지 성질을 알면, 아래의 3 가지 Determinant와 관련된 중요한 성질을 증명 할 수 있습니다. ​
[선형대수학] 10. Determinant 연산 안녕하세요. 이번 포스팅에서는 실제로 행렬의 Determinant를 계산해보록 하겠습니다. ​ 위에 두 가지 예시처럼, 행들을 서로 더하고 빼주는 연산을 하면서, 같아지는 행을 만들어서 0의 값을 반환하거나, 항등 행렬을 만들어서 1의 값을 반환하도록 만들어 주시면 됩니다. ​
[선형대수학] 9. Determinant 안녕하세요. 이번 포스팅에서는 Determinant (행렬식)에 대해서 배워보도록 하겠습니다. 2X2 행렬의 역행렬을 구하는 공식 기억하시나요?? A C B D 행렬 X의 역행렬을 구할 때, AD-BC의 값을 구하던거 기억하시죠? 미리 말씀드리자면, AD-BC는 X의 Determinant라고 할 수 있습니다. ​ 본격적으로 Determinant에 대해서 정의하고 배워보도록 하겠습니다. Determinant는 행렬을 실수 값으로 변환시키는 함수로 정의되는데 아래의 3가지 조건을 만족해야합니다. 첫 번째로, 항등 행렬을 1의 값을 반환하며, 두 번째로, Row (행) 두 개가 바뀌면, -1이 곱해집니다. 마지막으로, 선형 방정식이 성립합니다. 앞으로 3가지 조건을 순서대로 R1, R2, R3라고 부르겠습니다..
[선형대수학] 8. Elementary Matrix 활용한 역행렬 구하기. 안녕하세요. 이번포스팅에서는 Elementary Matrix 활용하여 역행렬을 계산하는 방법을 배워보도록 하겠습니다. 고등학교 때 배운 수학 상식으로는 3x3 이상의 행렬의 역행렬을 구할 수 없었습니다. ​ 0 1 2 1 2 1 3 3 1 ​ A 행렬의 역행렬을 구해보도록 할까요?? 0 1 2 1 2 1 3 3 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ​ 역행렬을 구하고 싶은 행렬 옆에 Identity Matrix를 하나 매칭시켜봅시다. 저희의 목표는 A행렬에 Elementary Matrix을 계속 곱해서 Identity Matrix로 만드는 것인데, 이 때, 매칭된 Identity Matrix에도 같은 Elementary Matrix가 곱해집니다. 1 2 1 0 1 2 3 3 1 0 1 0 1 0 0 0 0..